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She doesn't drink coffee and neither do I.
No toma café y tampoco.

¿Es correcta el español?

¡Gracias!
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No. Se debería decir: No toma café y yo tampoco.
Comments  
Creo que oigo a la gente decir únicamente “tampoco“. Supongo que no se aplica aquí.

Por ejemplo:

Juanita: No tomo café.
Javier: Tampoco.
En español hay contextos en los cuales puede usarse únicamente la palabra tampoco. En estos casos las palabras omitidas se entienden fácilmente según lo dicho con anterioridad.

Pedro no viene, pero ¿viene ella? Tampoco (=ella tampoco viene)
Pedro no quiere otro, ¿y tú? Tampoco (=yo tampoco quiero otro)

¿Hablas inglés?
No.
¿Y francés?
Tampoco.

¿Te gusta esa?
No
¿Y esta?
Tampoco.

En el ejemplo que usted propuso (“No toma café y tampoco”) nos faltan elementos para interpretar a qué se refiere tampoco. La frase queda incompleta: podríamos pensar que tampoco se refiere a otra bebida (No toma café y tampoco ) o a otro sujeto (Ella no toma café y yo tampoco). En la versión en inglés sí encontramos la palabra necesaria para interpretarla correctamente (I).

Juanita: No tomo café.
Javier: Tampoco.

En este caso el contexto podría facilitar la comprensión: si, tras decir eso, Juanita mira a Javier él puede interpretar este gesto como una pregunta (algo así como “¿y tú?”). Así podemos entender el uso de la palabra tampoco, sin necesidad de decir yo pues Juanita se está dirigiendo a él.
¡Gracias por tu tiempo!

I didn’t buy it either.
Yo tampoco lo compré.
En esta oración desde hay "compré" que significa la primera persona, podemos decir "Tampoco lo compré" ¿no?
Por supuesto.