Ponerse se usa con adjetivos, para un cambio que suele ser transitorio:
Cuando hablo en público me pongo nervioso.
El jefe se pone furioso con algunos empleados.
Volverse es similar a ponerse, pero tiene el sentido de una cambio mas permanente:
Después de la muerte de su novia se volvió adicto a las drogas.
Nadie sabe porque se volvió alergico a los gatos.
Llegar a ser se usa con sustantivos (cargos, profesiones) y se refiere a un proceso que requiere cierto tiempo:
Era analfabeto pero llegó a ser Presidente de la República.
Era muy inteligente y llegó a ser el primer premio nobel de su país.
Hacerse tiene un sentido de cambio más inmediato:
Se hizo rico de la noche a la mañana.
Se hizo famoso luego de la película.